12. Найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции: \(y = -\frac{1}{5}x^5 + \frac{49}{3}x^3 - \frac{3}{5}\)

Решение:

1. Найдем производную функции:

$$ y' = \left(-\frac{1}{5}x^5 + \frac{49}{3}x^3 - \frac{3}{5}\right)' \\ y' = -\frac{1}{5} \cdot 5x^4 + \frac{49}{3} \cdot 3x^2 = -x^4 + 49x^2 $$

1. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$$ -x^4 + 49x^2 = 0 \\ x^2(-x^2 + 49) = 0 \\ x^2(7-x)(7+x) = 0 $$

Критические точки: \(x=0\), \(x=7\), \(x=-7\).

1. Определим знаки производной на интервалах:

• Интервал \((-\infty; -7)\): Возьмем \(x=-8\). \(y' = -(-8)^4 + 49(-8)^2 = -4096 + 49 · 64 = -4096 + 3136 = -960 < 0\). Функция убывает.
• Интервал \((-7; 0)\): Возьмем \(x=-1\). \(y' = -(-1)^4 + 49(-1)^2 = -1 + 49 = 48 > 0\). Функция возрастает.
• Интервал \((0; 7)\): Возьмем \(x=1\). \(y' = -(1)^4 + 49(1)^2 = -1 + 49 = 48 > 0\). Функция возрастает.
• Интервал \((7; \infty)\): Возьмем \(x=8\). \(y' = -(8)^4 + 49(8)^2 = -4096 + 49 · 64 = -4096 + 3136 = -960 < 0\). Функция убывает.

1. Определим точки экстремума:

• При \(x = -7\) производная меняет знак с «-» на «+», значит, это точка минимума.
• При \(x = 7\) производная меняет знак с «+» на «-», значит, это точка максимума.
• При \(x = 0\) производная не меняет знак, это не является точкой экстремума.

1. Найдем значения функции в точках экстремума:

• \(y(-7) = -\frac{1}{5}(-7)^5 + \frac{49}{3}(-7)^3 - \frac{3}{5} = -\frac{1}{5}(-16807) + \frac{49}{3}(-343) - \frac{3}{5} = \frac{16807}{5} - \frac{16807}{3} - \frac{3}{5} = \frac{16804}{5} - \frac{16807}{3} = \frac{50412 - 84035}{15} = -\frac{33623}{15}\)
• \(y(7) = -\frac{1}{5}(7)^5 + \frac{49}{3}(7)^3 - \frac{3}{5} = -\frac{1}{5}(16807) + \frac{49}{3}(343) - \frac{3}{5} = -\frac{16807}{5} + \frac{16807}{3} - \frac{3}{5} = \frac{-16807+16807/3 · 5}{15} - \frac{3}{5} = \frac{16807}{15} - \frac{3}{5} = \frac{16807 - 9}{15} = \frac{16798}{15}\)

Ответ:

• Промежутки монотонности:
• Убывает на \((-\infty; -7)\) и \((7; \infty)\).
• Возрастает на \((-7; 0)\) и \((0; 7)\).
• Точки экстремума:
• Минимум в точке \(x=-7\), \(y_{min} = -\frac{33623}{15}\).
• Максимум в точке \(x=7\), \(y_{max} = \frac{16798}{15}\).