11. Решите неравенство: \(2^x + 2^{3-x} < 9\)

Решение:

1. Перепишем неравенство:

$$ 2^x + \frac{2^3}{2^x} < 9 \\ 2^x + \frac{8}{2^x} < 9 $$

1. Сделаем замену переменной. Пусть \(y = 2^x\). Так как \(2^x > 0\) для любого \(x\), то \(y > 0\).

$$ y + \frac{8}{y} < 9 $$

1. Умножим обе части на \(y\) (так как \(y > 0\), знак неравенства не меняется):

$$ y^2 + 8 < 9y \\ y^2 - 9y + 8 < 0 $$

1. Найдем корни квадратного уравнения \(y^2 - 9y + 8 = 0\):

$$ D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 - 32 = 49 \\ y_1 = \frac{9 - \sqrt{49}}{2} = \frac{9 - 7}{2} = 1 \\ y_2 = \frac{9 + \sqrt{49}}{2} = \frac{9 + 7}{2} = 8 $$

1. Так как парабола \(y^2 - 9y + 8\) имеет ветви вверх, неравенство \(y^2 - 9y + 8 < 0\) выполняется при \(1 < y < 8\).
2. Вернемся к замене \(y = 2^x\):

$$ 1 < 2^x < 8 $$

1. Представим числа 1 и 8 как степени двойки:

$$ 2^0 < 2^x < 2^3 $$

1. Так как основание степени \(2 > 1\), можем сравнить показатели:

$$ 0 < x < 3 $$

Ответ: \((0; 3)\)