12. (1 балл) Упростите выражение: \( 2 \cdot \sin\frac{13\pi}{4} - 4 \cdot \cos\frac{9\pi}{3} \)

Решение:

Сначала найдем значения синуса и косинуса.

Для \( \sin\frac{13\pi}{4} \):

\[ \frac{13\pi}{4} = \frac{12\pi + \pi}{4} = 3\pi + \frac{\pi}{4} \]

Так как \( 3\pi \) — это \( \pi \) плюс полный оборот \( 2\pi \), то \( \sin(3\pi + \frac{\pi}{4}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{4}) \).

\( \sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha) \). Поэтому:

\[ \sin\frac{13\pi}{4} = -\sin\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]

Для \( \cos\frac{9\pi}{3} \):

\[ \frac{9\pi}{3} = 3\pi \]

Так как \( 3\pi \) — это \( \pi \) плюс полный оборот \( 2\pi \), то \( \cos(3\pi) = \cos(\pi) \).

\[ \cos(3\pi) = -1 \]

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

\[ 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - 4 \cdot (-1) \]

\[ = -\sqrt{2} + 4 \]

Ответ: \( 4 - \sqrt{2} \).