1196. Докажите, что $$(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$$ при любом целом $$n$$, $$a \neq 0$$ и $$b \neq 0$$.

Доказательство:

Рассмотрим левую часть равенства:

$$(\frac{a}{b})^{-n}$$

Используя свойство отрицательной степени, получим:

$$(\frac{a}{b})^{-n} = \frac{1}{(\frac{a}{b})^n}$$

Теперь применим свойство степени дроби: $$(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$$.

$$= \frac{1}{\frac{a^n}{b^n}}$$

Чтобы разделить 1 на дробь, нужно умножить 1 на обратную дробь:

$$= 1 \cdot \frac{b^n}{a^n} = \frac{b^n}{a^n}$$

Используя свойство степени дроби в обратном порядке:

$$= (\frac{b}{a})^n$$

Таким образом, мы получили правую часть равенства.

Что и требовалось доказать.