1193. Найдите значение выражения: a) $$3^{-4} \cdot 3^6$$; б) $$2^4 \cdot 2^{-3}$$; в) $$10^8 \cdot 10^{-5} \cdot 10^{-6}$$; г) $$2^{10} : 2^{12}$$; д) $$5^{-3} : 5^{-8}$$; e) $$3^{-4} : 3^{-3}$$. ж) $$(2^{-4})^{-1}$$; з) $$(5^2)^{-2} \cdot 5^3$$; и) $$3^{-4} \cdot (3^{-2})^{-4}$$.

Решение:

Используем свойства степеней: $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$, $$a^m : a^n = a^{m-n}$$, $$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$.

1. a) $$3^{-4} \cdot 3^6 = 3^{-4+6} = 3^2 = 9$$


2. б) $$2^4 \cdot 2^{-3} = 2^{4+(-3)} = 2^1 = 2$$


3. в) $$10^8 \cdot 10^{-5} \cdot 10^{-6} = 10^{8+(-5)+(-6)} = 10^{-3} = \frac{1}{1000}$$


4. г) $$2^{10} : 2^{12} = 2^{10-12} = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$$


5. д) $$5^{-3} : 5^{-8} = 5^{-3-(-8)} = 5^{-3+8} = 5^5 = 3125$$


6. е) $$3^{-4} : 3^{-3} = 3^{-4-(-3)} = 3^{-4+3} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$$


7. ж) $$(2^{-4})^{-1} = 2^{(-4)\cdot(-1)} = 2^4 = 16$$


8. з) $$(5^2)^{-2} \cdot 5^3 = 5^{2 \cdot (-2)} \cdot 5^3 = 5^{-4} \cdot 5^3 = 5^{-4+3} = 5^{-1} = \frac{1}{5}$$


9. и) $$3^{-4} \cdot (3^{-2})^{-4} = 3^{-4} \cdot 3^{(-2)\cdot(-4)} = 3^{-4} \cdot 3^8 = 3^{-4+8} = 3^4 = 81$$

Ответ: а) 9; б) 2; в) $$\frac{1}{1000}$$; г) $$\frac{1}{4}$$; д) 3125; е) $$\frac{1}{3}$$; ж) 16; з) $$\frac{1}{5}$$; и) 81.