11. На стороне АС треугольника АВС отмечена точка D так, что AD=4, DC=8. Площадь треугольника АВС равна 36. Найдите площадь треугольника BCD.

Задание 11. Площадь треугольника

Дано:

• Треугольник АВС.
• Точка D на стороне АС.
• \( AD = 4 \)
• \( DC = 8 \)
• Площадь треугольника АВС: \( S_{ABC} = 36 \)

Найти: Площадь треугольника BCD \( S_{BCD} \).

Решение:

1. Сначала найдем длину стороны АС: \( AC = AD + DC = 4 + 8 = 12 \).
2. Треугольники АВС и BCD имеют общую высоту, опущенную из вершины В на сторону АС. Обозначим эту высоту как \( h \).
3. Площадь треугольника АВС можно выразить как \( S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AC \times h \).
4. Площадь треугольника BCD можно выразить как \( S_{BCD} = \frac{1}{2} \times DC \times h \).
5. Мы знаем, что \( S_{ABC} = 36 \) и \( AC = 12 \), \( DC = 8 \).
6. Найдем высоту \( h \) из площади АВС: \( 36 = \frac{1}{2} \times 12 \times h \) => \( 36 = 6h \) => \( h = 6 \).
7. Теперь найдем площадь треугольника BCD: \( S_{BCD} = \frac{1}{2} \times DC \times h = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 \).
8. \( S_{BCD} = 4 \times 6 = 24 \).

Альтернативное решение (через отношение площадей):

Так как у треугольников АВС и BCD высота из вершины В общая, то отношение их площадей равно отношению их оснований, лежащих на одной прямой:

\[ \frac{S_{BCD}}{S_{ABC}} = \frac{DC}{AC} \]

\[ \frac{S_{BCD}}{36} = \frac{8}{4+8} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \]

\[ S_{BCD} = \frac{2}{3} \times 36 \]

\[ S_{BCD} = 2 \times 12 = 24 \]

Ответ: Площадь треугольника BCD равна 24.