10) Найдите точки максимума функции y = x³ - 3x².

Решение:

1. Найдем производную функции: \( y' = (x^3 - 3x^2)' = 3x^2 - 6x \).
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 3x^2 - 6x = 0 \)
3. \( 3x(x - 2) = 0 \)
4. Критические точки: \( x = 0 \) и \( x = 2 \).
5. Определим знак производной на интервалах, образованных критическими точками:
• На интервале \( (-\infty; 0) \) (например, \( x = -1 \)): \( y' = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9 > 0 \). Функция возрастает.
• На интервале \( (0; 2) \) (например, \( x = 1 \)): \( y' = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 < 0 \). Функция убывает.
• На интервале \( (2; +\infty) \) (например, \( x = 3 \)): \( y' = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9 > 0 \). Функция возрастает.
6. Точка \( x = 0 \) является точкой максимума, так как производная меняет знак с \( + \) на \( - \).
7. Точка \( x = 2 \) является точкой минимума, так как производная меняет знак с \( - \) на \( + \).

Ответ: 1) 0