• 7 Найдите все целые положительные значения р, при которых урав нение x²-px-8=0 имеет целые корни.

Пусть x₁ и x₂ – целые корни квадратного уравнения x² - px - 8 = 0.

По теореме Виета:

1. $$x_1 + x_2 = p$$
2. $$x_1 \cdot x_2 = -8$$

Так как произведение корней равно -8, то один корень должен быть положительным, а другой отрицательным. Возможные пары целых чисел, произведение которых равно -8:

• 1 и -8
• 2 и -4
• 4 и -2
• 8 и -1
• -1 и 8
• -2 и 4
• -4 и 2
• -8 и 1

Найдем соответствующие значения p:

• Если x₁ = 1 и x₂ = -8, то p = 1 + (-8) = -7 (не подходит, так как p должно быть положительным)
• Если x₁ = 2 и x₂ = -4, то p = 2 + (-4) = -2 (не подходит, так как p должно быть положительным)
• Если x₁ = 4 и x₂ = -2, то p = 4 + (-2) = 2
• Если x₁ = 8 и x₂ = -1, то p = 8 + (-1) = 7
• Если x₁ = -1 и x₂ = 8, то p = -1 + 8 = 7
• Если x₁ = -2 и x₂ = 4, то p = -2 + 4 = 2
• Если x₁ = -4 и x₂ = 2, то p = -4 + 2 = -2 (не подходит, так как p должно быть положительным)
• Если x₁ = -8 и x₂ = 1, то p = -8 + 1 = -7 (не подходит, так как p должно быть положительным)

Следовательно, возможные значения p: 2 и 7.

Ответ: p = 2 и p = 7