ЗАДАНИЕ №5 Решите уравнение: $$\frac{24}{x + 5} + \frac{72}{x^2 - 25} = \frac{x}{x - 5}$$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Решим уравнение:

$$\frac{24}{x + 5} + \frac{72}{x^2 - 25} = \frac{x}{x - 5}$$

$$\frac{24}{x + 5} + \frac{72}{(x - 5)(x + 5)} = \frac{x}{x - 5}$$

ОДЗ: $$x + 5
eq 0$$, $$x - 5
eq 0$$

$$x
eq -5$$, $$x
eq 5$$

Приведем уравнение к виду:

$$\frac{24(x - 5) + 72}{(x - 5)(x + 5)} = \frac{x(x + 5)}{(x - 5)(x + 5)}$$

$$24(x - 5) + 72 = x(x + 5)$$

$$24x - 120 + 72 = x^2 + 5x$$

$$24x - 48 = x^2 + 5x$$

$$x^2 + 5x - 24x + 48 = 0$$

$$x^2 - 19x + 48 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = b^2 - 4ac = (-19)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48 = 361 - 192 = 169 = 13^2$$

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 + 13}{2 \cdot 1} = \frac{32}{2} = 16$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 - 13}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Меньший корень: 3

Ответ: 3