Задание 16 Две стороны треугольника образуют с медианой, исходящей из их общей вершины, углы 80° и 20°. Докажите, что медиана равна половине одной из сторон треугольника.

Ответ: Доказательство в решении

Пусть дан треугольник ABC, где AM - медиана, исходящая из вершины A, и ∠BAM = 80°, ∠CAM = 20°.

Продолжим медиану AM на отрезок MD = AM. Тогда BMCD - параллелограмм (так как диагонали BD и CM делятся точкой пересечения пополам).

Следовательно, CD = BM = MC (так как AM - медиана).

Рассмотрим треугольник ACD.

∠ADC = ∠ABM = 80° (как противоположные углы параллелограмма).

∠CAD = ∠CAM + ∠MAD = 20° + (180° - ∠ADC - ∠ACD) = 20° + (180° - 80° - ∠ACD) = 20° + 100° - ∠ACD.

∠ACD = 180° - ∠ADC - ∠CAD = 180° - 80° - (20° + (180° - 80° - ∠ACD)).

∠ACD = 180° - 80° - 20° - (180° - 80° - ∠ACD).

∠ACD = 80°.

Значит, ∠CAD = 180° - 80° - 80° = 20°.

Так как ∠CAD = ∠CAM = 20°, то треугольник ACD равнобедренный с AC = CD.

Но CD = BM = MC, следовательно, AC = MC = BM.

Медиана AM = MD = (1/2)AD, и AD = AC.

Следовательно, AM = (1/2)AC, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство в решении