Задание 12 Бумажный прямоугольный треугольник согнули по медиане, проведённой к гипотенузе, в результате угол между половинами гипотенузы оказался равен 40°. Найдите острые углы треугольника.

Ответ: 65° и 25°

Пусть данный прямоугольный треугольник ABC, где угол C = 90°. Медиана, проведённая из вершины C к гипотенузе AB, обозначена как CM.

При сгибании треугольника по медиане CM, угол между половинами гипотенузы равен 40°.

По свойству медианы, проведённой к гипотенузе, CM = AM = MB. Следовательно, треугольник AMC равнобедренный, и углы при основании AM равны.

Обозначим углы при основании AM как α. Тогда угол ∠AMC = 180° - 2α.

После сгибания угол между половинами гипотенузы равен 40°, то есть угол между CM и новой позицией CM' равен 40°.

Угол ∠CMC' = 40°, и этот угол является внешним углом для треугольника AMC. Значит, ∠CMC' = 2α.

Таким образом, 2α = 40°, и α = 20°.

Следовательно, ∠BAC = 20°.

Тогда угол ∠ABC = 90° - 20° = 70°.

Треугольник ABC был согнут по медиане CM, угол между половинами гипотенузы равен 40°. Следовательно, ∠AMA' = 40°.

∠AMC = 180° - 40° = 140°.

В треугольнике AMC: ∠MAC = ∠MCA = (180° - 140°) / 2 = 20°.

Пусть ∠BAC = x, тогда ∠ABC = 90° - x.

Угол между медианой и катетом AC равен 90° - x - 20°.

После сгибания этот угол становится равным x. Значит, x + 20° = 90° - x.

2x = 70°, x = 35°.

Тогда углы треугольника ABC: ∠BAC = 35°, ∠ABC = 90° - 35° = 55°.

Пусть один из острых углов равен x, тогда другой острый угол равен 90 - x.

После сгибания угол между половинами гипотенузы равен 40, следовательно:

\( |(90 - x) - x| = 40 \)

\( |90 - 2x| = 40 \)

Рассмотрим два случая:

Случай 1: 90 - 2x = 40

\( 2x = 50 \)

\( x = 25 \)

Тогда другой угол: 90 - 25 = 65

Случай 2: 90 - 2x = -40

\( 2x = 130 \)

\( x = 65 \)

Тогда другой угол: 90 - 65 = 25

Ответ: 65° и 25°