Задание 8. Найти производную: f(x) = 3x⁷ - √x - 6x⁵ - 4x² + 7x + 17

Решение:

Найдем производную функции \( f(x) = 3x^7 - \sqrt{x} - 6x^5 - 4x^2 + 7x + 17 \), используя правила дифференцирования:

• Производная \( (x^n)' = nx^{n-1} \).
• Производная \( (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \).
• Производная константы равна 0.
• Производная суммы/разности равна сумме/разности производных.

Применим эти правила к каждому члену функции:

• \( (3x^7)' = 3 \cdot 7x^{7-1} = 21x^6 \)
• \( (-\sqrt{x})' = -\frac{1}{2\sqrt{x}} \)
• \( (-6x^5)' = -6 \cdot 5x^{5-1} = -30x^4 \)
• \( (-4x^2)' = -4 \cdot 2x^{2-1} = -8x \)
• \( (7x)' = 7 \cdot 1x^{1-1} = 7x^0 = 7 \)
• \( (17)' = 0 \)

Сложим производные всех членов:

• \( f'(x) = 21x^6 - \frac{1}{2\sqrt{x}} - 30x^4 - 8x + 7 \)

Ответ: \( f'(x) = 21x^6 - \frac{1}{2\sqrt{x}} - 30x^4 - 8x + 7 \)