ЗАДАНИЕ 8. На окружности радиуса 25 взята точка С. Отрезок АВ — диаметр окружности, АС = 15. Найдите cos∠BAC.

Решение:

Так как \( AB \) — диаметр окружности, то угол \( ∠ACB \), опирающийся на диаметр, является прямым, то есть \( ∠ACB = 90° \).

Следовательно, треугольник \( △ ABC \) — прямоугольный с прямым углом \( C \).

Диаметр окружности \( AB \) равен \( 2 \times 25 = 50 \).

В прямоугольном треугольнике \( △ ABC \) мы знаем:

• Гипотенузу \( AB = 50 \)
• Катет \( AC = 15 \)

Косинус угла \( ∠BAC \) определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе:

\( \textrm{cos}(∠BAC) = \frac{AC}{AB} \)

Подставим известные значения:

\( \textrm{cos}(∠BAC) = \frac{15}{50} \)

Упростим дробь:

\( \textrm{cos}(∠BAC) = \frac{3 \cdot 5}{10 \cdot 5} = \frac{3}{10} \).

Ответ: \( \frac{3}{10} \)