ЗАДАНИЕ 2. Сумма двух углов ромба равна 120°, а его меньшая диагональ равна 8. Найдите периметр ромба.

Решение:

В ромбе сумма двух соседних углов равна 180°. Если сумма двух углов равна 120°, значит, эти углы смежные, и один из них равен \( 120° / 2 = 60° \), а другой \( 180° - 60° = 120° \).

Диагонали ромба делят его углы пополам. Меньшая диагональ соединяет вершины тупых углов (120°), а большая — вершины острых углов (60°).

Рассмотрим треугольник, образованный стороной ромба и половинами диагоналей. Углы этого треугольника будут \( 60°/2 = 30° \) и \( 120°/2 = 60° \), а третий угол — \( 90° \) (так как диагонали ромба перпендикулярны).

Меньшая диагональ равна 8. Половина меньшей диагонали равна \( 8 / 2 = 4 \). Эта половина лежит против угла в 60°.

Пусть сторона ромба равна \( a \). В прямоугольном треугольнике против угла в 60° лежит катет \( 4 \). Используем синус:

\( \textrm{sin}(60°) = \frac{4}{a} \)

\( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4}{a} \)

\( a = \frac{4 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3} \)

Периметр ромба равен \( 4a \).

\( P = 4 \cdot \frac{8\sqrt{3}}{3} = \frac{32\sqrt{3}}{3} \)

Ответ: \( \frac{32\sqrt{3}}{3} \)