Задание 7. В прямом параллелепипеде стороны основания 2см и 5 см, угол между ними 30°. Боковая поверхность равна 112 см². Найти полную поверхность.

Решение:

Дано:

• Прямой параллелепипед.


• Стороны основания: \( a = 5 \) см, \( b = 2 \) см.


• Угол между сторонами основания: \( \alpha = 30^{\circ} \).


• Боковая поверхность: \( S_{бок} = 112 \) см².

Найти: Полную поверхность \( S_{полн} \).

Решение:

1. Площадь основания (S_осн):



Площадь параллелограмма находится по формуле \( S = ab \sin \alpha \).




\[ S_{осн} = 5 \text{ см} \cdot 2 \text{ см} \cdot \sin 30^{\circ} = 10 \text{ см}^2 \cdot \frac{1}{2} = 5 \text{ см}^2 \]



2. Высота параллелепипеда (h):



Боковая поверхность прямого параллелепипеда равна произведению периметра основания на высоту.




Периметр основания \( P = 2(a+b) = 2(5 \text{ см} + 2 \text{ см}) = 2(7 \text{ см}) = 14 \) см.




\( S_{бок} = P \cdot h \)




\[ 112 \text{ см}^2 = 14 \text{ см} \cdot h \]




\[ h = \frac{112 \text{ см}^2}{14 \text{ см}} = 8 \text{ см} \]



3. Полная поверхность (S_полн):



Полная поверхность равна сумме боковой поверхности и удвоенной площади основания:




\[ S_{полн} = S_{бок} + 2 S_{осн} \]




\[ S_{полн} = 112 \text{ см}^2 + 2 \cdot 5 \text{ см}^2 = 112 \text{ см}^2 + 10 \text{ см}^2 = 122 \text{ см}^2 \]

Ответ: Полная поверхность равна 122 см².