Задание 3. Вычислите (предварительно сделав рисунок) площадь фигуры ограниченной линиями: y=x²+1, y=0, x=0, x=2

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции \( y = f(x) \), осью \( Ox \) и прямыми \( x = a \) и \( x = b \), вычисляется по формуле определённого интеграла: \( S = \int_{a}^{b} f(x) dx \).

В данном случае \( f(x) = x^2 + 1 \), \( a = 0 \), \( b = 2 \). Ось \( Ox \) — это \( y = 0 \).

Так как \( y = x^2 + 1 \) всегда положительна (минимум \( y=1 \) при \( x=0 \)), график функции находится выше оси \( Ox \) на заданном отрезке.

Вычислим площадь:

\[ S = \int_{0}^{2} (x^2 + 1) dx \]

\[ S = \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_{0}^{2} \]

\[ S = \left( \frac{2^3}{3} + 2 \right) - \left( \frac{0^3}{3} + 0 \right) \]

\[ S = \left( \frac{8}{3} + 2 \right) - 0 \]

\[ S = \frac{8}{3} + \frac{6}{3} = \frac{14}{3} \]

Ответ: \( \frac{14}{3} \) квадратных единиц.