Задание 7. Дано: \( \sin \alpha = -\frac{35}{37} \), \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \). Найдите \( \cos \alpha \).

Решение:

Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).

\( \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha \)

\( \cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{35}{37}\right)^2 \)

\( \cos^2 \alpha = 1 - \frac{1225}{1369} \)

\( \cos^2 \alpha = \frac{1369 - 1225}{1369} \)

\( \cos^2 \alpha = \frac{144}{1369} \)

\( \cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{144}{1369}} = \pm \frac{12}{37} \)

Так как \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \), угол \( \alpha \) находится в третьей четверти, где косинус отрицателен. Следовательно, выбираем отрицательное значение.

Ответ: \( \cos \alpha = -\frac{12}{37} \).