Задание 10. Решите уравнение: 16^x + 3 · 4^x - 4 = 0.

Решение:

Перепишем уравнение, используя свойства степеней:

\( (4^2)^x + 3 \cdot 4^x - 4 = 0 \)

\( (4^x)^2 + 3 \cdot 4^x - 4 = 0 \)

Сделаем замену переменной: пусть \( t = 4^x \). Так как \( 4^x > 0 \) для любого \( x \), то \( t > 0 \).

Уравнение примет вид:

\( t^2 + 3t - 4 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение относительно \( t \). Найдем дискриминант:

\( D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \)

Найдем корни \( t \):

\( t_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

\( t_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \)

Поскольку \( t = 4^x \) и \( t > 0 \), то \( t = -4 \) не подходит.

Рассмотрим \( t = 1 \):

\( 4^x = 1 \)

\( 4^x = 4^0 \)

\( x = 0 \)

Ответ: \( x = 0 \).