Задание 7. Дано: \( \sin \alpha = -\frac{20}{29}, \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \). Найдите \( \cos \alpha \).

Решение:

Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).

Выразим \( \cos^2 \alpha \):

\[ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha \]

Подставим значение \( \sin \alpha \):

\[ \cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{20}{29}\right)^2 = 1 - \frac{400}{841} = \frac{841 - 400}{841} = \frac{441}{841} \]

Теперь найдем \( \cos \alpha \):

\[ \cos \alpha = ±\sqrt{\frac{441}{841}} = ±\frac{21}{29} \]

Условие \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \) означает, что угол \( \alpha \) находится в третьем квадранте. В третьем квадранте косинус отрицателен.

Следовательно, выбираем отрицательное значение:

\[ \cos \alpha = -\frac{21}{29} \]

Ответ: \( -\frac{21}{29} \).