Задание 10. Решите уравнение: \( 4^x - 14 · 2^x - 32 = 0 \).

Решение:

Заметим, что \( 4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 \). Введем замену переменной: пусть \( t = 2^x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ t^2 - 14t - 32 = 0 \]

Это квадратное уравнение относительно \( t \). Найдем его корни:

\[ D = (-14)^2 - 4 · 1 · (-32) = 196 + 128 = 324 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{324} = 18 \]

Найдем \( t \):

\[ t_1 = \frac{14 + 18}{2} = \frac{32}{2} = 16 \]

\[ t_2 = \frac{14 - 18}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]

Теперь вернемся к замене \( t = 2^x \).

Для \( t_1 = 16 \):

\[ 2^x = 16 \]

Так как \( 16 = 2^4 \), то \( 2^x = 2^4 \), откуда \( x = 4 \).

Для \( t_2 = -2 \):

\[ 2^x = -2 \]

Показательная функция \( 2^x \) всегда положительна, поэтому это уравнение не имеет решений.

Ответ: 4.