Задание 5. Решите неравенство: \(\frac{2x+8x}{2x-1} < 0\)

Решение:

1. Упростим числитель: \( 2x + 8x = 10x \). Неравенство принимает вид: \( \frac{10x}{2x-1} < 0 \).
2. Найдем корни числителя и знаменателя:
• Числитель: \( 10x = 0 \) => \( x = 0 \).
• Знаменатель: \( 2x - 1 = 0 \) => \( 2x = 1 \) => \( x = \frac{1}{2} \).
3. Отметим найденные точки на числовой оси. Они делят ось на три интервала: \( (-\infty, 0) \), \( (0, \frac{1}{2}) \) и \( (\frac{1}{2}, \infty) \).
4. Проверим знак выражения \( \frac{10x}{2x-1} \) на каждом интервале:
• На \( (-\infty, 0) \) (например, при \( x = -1 \)): \( \frac{10(-1)}{2(-1)-1} = \frac{-10}{-3} = \frac{10}{3} > 0 \).
• На \( (0, \frac{1}{2}) \) (например, при \( x = 0.25 \)): \( \frac{10(0.25)}{2(0.25)-1} = \frac{2.5}{0.5-1} = \frac{2.5}{-0.5} = -5 < 0 \).
• На \( (\frac{1}{2}, \infty) \) (например, при \( x = 1 \)): \( \frac{10(1)}{2(1)-1} = \frac{10}{1} = 10 > 0 \).
5. Нам нужно, чтобы выражение было меньше нуля, поэтому выбираем интервал \( (0, \frac{1}{2}) \).

Ответ: \( (0; \frac{1}{2}) \).