Задание 4. Решите уравнения: a) ctg x-1/2=0 б) log₄(x+1)/3 = log₄(-3x+5)/2 в) 4^(x²-4x-2) = 64

Решение:

1. a) \( \text{ctg } x - \frac{1}{2} = 0 \)
   \( \text{ctg } x = \frac{1}{2} \)
   \( x = \text{arcctg} \left( \frac{1}{2} \right) + \pi n \), где \( n \) — целое число.
2. б) \( \log_4 \frac{x+1}{3} = \log_4 \frac{-3x+5}{2} \)
   Так как основания логарифмов равны, приравниваем аргументы:
   \( \frac{x+1}{3} = \frac{-3x+5}{2} \)
   Умножим обе части на 6:
   \( 2(x+1) = 3(-3x+5) \)
   \( 2x + 2 = -9x + 15 \)
   \( 2x + 9x = 15 - 2 \)
   \( 11x = 13 \)
   \( x = \frac{13}{11} \)
   Проверим область допустимых значений (ОДЗ): \( x+1 > 0 \) и \( -3x+5 > 0 \). \( x > -1 \) и \( -3x > -5 \) => \( x < \frac{5}{3} \). \( \frac{13}{11} \) удовлетворяет ОДЗ.
3. в) \( 4^{x^2-4x-2} = 64 \)
   Представим 64 как степень 4: \( 64 = 4^3 \).
   \( 4^{x^2-4x-2} = 4^3 \)
   Приравниваем показатели степеней:
   \( x^2 - 4x - 2 = 3 \)
   \( x^2 - 4x - 2 - 3 = 0 \)
   \( x^2 - 4x - 5 = 0 \)
   Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-4)^2 - 4(1)(-5) = 16 + 20 = 36 \). \( \sqrt{D} = 6 \).
   \( x_1 = \frac{-(-4) + 6}{2 \cdot 1} = \frac{4+6}{2} = \frac{10}{2} = 5 \).
   \( x_2 = \frac{-(-4) - 6}{2 \cdot 1} = \frac{4-6}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \).

Ответ: a) \( x = \text{arcctg} \left( \frac{1}{2} \right) + \pi n \), \( n \in \mathbb{Z} \); б) \( x = \frac{13}{11} \); в) \( x_1 = 5, x_2 = -1 \).