Задание 3. Вычислите (предварительно сделав рисунок) площадь фигуры ограниченной линиями: y = 2x², y = 0, x = 1, x = 2

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = f(x) \), \( y = g(x) \), \( x = a \), \( x = b \), вычисляется как определённый интеграл \( \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) dx \). В данном случае \( f(x) = 2x^2 \) и \( g(x) = 0 \).

Границы интегрирования: \( a = 1 \), \( b = 2 \).

Вычислим площадь:

\[ S = \int_{1}^{2} (2x^2 - 0) dx = \int_{1}^{2} 2x^2 dx \]

\[ S = 2 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} = 2 \left( \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} \right) = 2 \left( \frac{8}{3} - \frac{1}{3} \right) = 2 \left( \frac{7}{3} \right) = \frac{14}{3} \]

Ответ: \( \frac{14}{3} \) квадратных единиц.