Задание 1. Найдите область определения функции y = √4x² + 5x +1 .

Решение:

Область определения функции \( y = \sqrt{4x^2 + 5x + 1} \) находится, когда подкоренное выражение неотрицательно:

\[ 4x^2 + 5x + 1 \geq 0 \]

Найдем корни квадратного уравнения \( 4x^2 + 5x + 1 = 0 \) через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9 \]\[ \sqrt{D} = 3 \]\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 3}{2 \cdot 4} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4} \]\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 3}{2 \cdot 4} = \frac{-8}{8} = -1 \]

Парабола \( y = 4x^2 + 5x + 1 \) ветвями вверх, поэтому неравенство \( 4x^2 + 5x + 1 \geq 0 \) выполняется при \( x \leq -1 \) или \( x \geq -\frac{1}{4} \).

Ответ: \( x \in (-\infty; -1] \cup [-\frac{1}{4}; +\infty) \).