Задание 5 (сложное) В прямоугольном треугольнике АВС (ZC = 90°) известно, что cos A = 13. а) Найдите sin A. 6) Найдите гипотенузу АВ, если катет ВС = 10 см. в) Найдите катет АС.

Ответ: a) \(\sin A = \frac{5}{13}\); б) АВ = \(\frac{130}{5}\) = 26 см; в) АС = \(\frac{120}{5}\) = 24 см

Решение:

а) Шаг 1: Найдем sin A, используя основное тригонометрическое тождество: \[\sin^2 A + \cos^2 A = 1\]

Шаг 2: Выразим sin A: \[\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A}\]

Шаг 3: Подставим известное значение cos A: \[\sin A = \sqrt{1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{144}{169}} = \sqrt{\frac{169 - 144}{169}} = \sqrt{\frac{25}{169}}\]

Шаг 4: Вычислим квадратный корень: \[\sin A = \frac{5}{13}\]

б) Шаг 1: Найдем гипотенузу AB, используя определение синуса угла A: \[\sin A = \frac{BC}{AB}\]

Шаг 2: Выразим AB: \[AB = \frac{BC}{\sin A}\]

Шаг 3: Подставим известные значения: \[AB = \frac{10}{\frac{5}{13}} = 10 \cdot \frac{13}{5} = \frac{130}{5} = 26 \text{ см}\]

в) Шаг 1: Найдем катет AC, используя определение косинуса угла A: \[\cos A = \frac{AC}{AB}\]

Шаг 2: Выразим AC: \[AC = AB \cdot \cos A\]

Шаг 3: Подставим известные значения: \[AC = 26 \cdot \frac{12}{13} = 2 \cdot 12 = 24 \text{ см}\]

Ответ: a) \(\sin A = \frac{5}{13}\); б) АВ = \(\frac{130}{5}\) = 26 см; в) АС = \(\frac{120}{5}\) = 24 см