XIII Республиканская олимпиада по математике Пифагор. 6 класс. У двузначного числа первая цифра вдвое больше второй. Если к этому числу прибавить квадрат его первой цифры, то получится квадрат некоторого целого числа. Найдите исходное двузначное число.

Пусть двузначное число имеет вид $$10a+b$$, где $$a$$ – первая цифра, $$b$$ – вторая цифра. По условию, $$a=2b$$. Значит, число можно записать как $$10(2b)+b=21b$$.

По условию, если к этому числу прибавить квадрат его первой цифры, то получится квадрат некоторого целого числа, то есть $$21b + a^2 = n^2$$, где $$n$$ – целое число.

Подставим $$a=2b$$ в уравнение: $$21b + (2b)^2 = n^2$$, $$21b + 4b^2 = n^2$$, $$b(21 + 4b) = n^2$$.

Так как $$a$$ и $$b$$ – цифры, то $$a \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$$ и $$b \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$$. Учитывая, что $$a=2b$$, то $$b \in \{1, 2, 3, 4\}$$.

Проверим возможные значения $$b$$:

• Если $$b=1$$, то $$a=2$$. Тогда $$b(21 + 4b) = 1(21 + 4) = 25 = 5^2$$.
• Если $$b=2$$, то $$a=4$$. Тогда $$b(21 + 4b) = 2(21 + 8) = 2(29) = 58$$, что не является квадратом целого числа.
• Если $$b=3$$, то $$a=6$$. Тогда $$b(21 + 4b) = 3(21 + 12) = 3(33) = 99$$, что не является квадратом целого числа.
• Если $$b=4$$, то $$a=8$$. Тогда $$b(21 + 4b) = 4(21 + 16) = 4(37) = 148$$, что не является квадратом целого числа.

Таким образом, только при $$b=1$$ и $$a=2$$ выполняется условие, что $$b(21 + 4b)$$ является квадратом целого числа.

Исходное двузначное число равно $$10a+b = 10(2) + 1 = 21$$.

Проверим: $$21 + 2^2 = 21 + 4 = 25 = 5^2$$, что является квадратом целого числа.

Ответ: 21