5. На каждой клетке шахматной доски 77 сидят 49 дрессированных лягушек. По команде каждая лягушка прыгнула в соседнюю клетку (соседняя по горизонтали или вертикали, но не по диагона ли). Могло ли так оказаться, что на всех клетках шахматной доски снова сидело по лягушке?

Рассмотрим шахматную доску 7x7. Всего на доске 49 клеток. Раскрасим доску в шахматном порядке, как обычно. Пусть черные клетки - это клетки, где сумма координат (номер строки + номер столбца) четная, а белые клетки - клетки, где сумма координат нечетная. Тогда при прыжке лягушка с черной клетки перепрыгнет на белую клетку, и наоборот.

На доске 7x7 количество черных и белых клеток отличается. На доске 7x7: черных клеток 25, а белых - 24. (или наоборот). Изначально на каждой клетке сидело 49 лягушек. Значит, всего лягушек $$49 \cdot 49 = 2401$$. Если после прыжка на каждой клетке опять сидит по лягушке, то на каждой клетке должно быть 49 лягушек. Всего лягушек, которые находятся на черных клетках, равно $$25 \cdot 49 = 1225$$. А общее количество лягушек на белых клетках будет составлять $$24 \cdot 49 = 1176$$

Но по условию задачи, с каждой клетки прыгает 49 лягушек в соседнюю клетку. Тогда после прыжка, количество лягушек на черных клетках будет 1176, а количество лягушек на белых клетках - 1225, чего не может быть, так как лягушки не могут менять свою численность, то есть из ниоткуда взяться или исчезнуть. Следовательно, не могло так оказаться, что на всех клетках шахматной доски снова сидело по лягушке.

Ответ: Нет, не могло.