XIII Республиканская олимпиада по математике Пифагор. 6 класс. 1. У двузначного числа первая цифра вдвое больше второй. Если к этому числу прибавить квадрат его первой цифры, то получится квадрат некоторого целого числа. Найдите исходное двузначное число.

Пусть первая цифра двузначного числа равна $$2x$$, а вторая цифра равна $$x$$. Тогда само число можно представить в виде $$10 \cdot 2x + x = 21x$$. По условию, $$21x + (2x)^2 = n^2$$, где $$n$$ - некоторое целое число. Тогда $$21x + 4x^2 = n^2$$ $$x(21 + 4x) = n^2$$

Так как $$x$$ - цифра, то $$x$$ может принимать значения от 1 до 9. Переберём возможные значения $$x$$ и проверим, является ли $$x(21 + 4x)$$ полным квадратом:

• Если $$x = 1$$, то $$1 \cdot (21 + 4 \cdot 1) = 25 = 5^2$$.
• Если $$x = 2$$, то $$2 \cdot (21 + 4 \cdot 2) = 2 \cdot 29 = 58$$, что не является полным квадратом.
• Если $$x = 3$$, то $$3 \cdot (21 + 4 \cdot 3) = 3 \cdot 33 = 99$$, что не является полным квадратом.
• Если $$x = 4$$, то $$4 \cdot (21 + 4 \cdot 4) = 4 \cdot 37 = 148$$, что не является полным квадратом.
• Если $$x = 5$$, то $$5 \cdot (21 + 4 \cdot 5) = 5 \cdot 41 = 205$$, что не является полным квадратом.
• Если $$x = 6$$, то $$6 \cdot (21 + 4 \cdot 6) = 6 \cdot 45 = 270$$, что не является полным квадратом.
• Если $$x = 7$$, то $$7 \cdot (21 + 4 \cdot 7) = 7 \cdot 49 = 343$$, что не является полным квадратом.
• Если $$x = 8$$, то $$8 \cdot (21 + 4 \cdot 8) = 8 \cdot 53 = 424$$, что не является полным квадратом.
• Если $$x = 9$$, то $$9 \cdot (21 + 4 \cdot 9) = 9 \cdot 57 = 513$$, что не является полным квадратом.

Только при $$x = 1$$ выражение $$x(21 + 4x)$$ является полным квадратом, а именно $$25 = 5^2$$. Тогда первая цифра равна $$2 \cdot 1 = 2$$, а вторая цифра равна 1. Искомое число равно 21.

Проверим: $$21 + 2^2 = 21 + 4 = 25 = 5^2$$, что удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 21