Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
x²+x-2 1. lim ; x-2 x2-4
Ответ:
Давай решим этот предел по шагам!
1. Подготовительный этап: Сначала попробуем подставить значение x = 2 в выражение и посмотрим, что получится:
\[ \frac{2^2 + 2 - 2}{2^2 - 4} = \frac{4 + 2 - 2}{4 - 4} = \frac{4}{0} \]
Получается неопределенность вида \(\frac{0}{0}\), значит, нужно упростить выражение.
2. Факторизация числителя и знаменателя: Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель: \(x^2 + x - 2\). Это квадратный трехчлен. Найдем его корни:
\(x^2 + x - 2 = 0\)
\(D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\)
\(x_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = 1\)
\(x_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 - 3}{2} = -2\)
Значит, \(x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)\)
Знаменатель: \(x^2 - 4\). Это разность квадратов:
\(x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)\)
3. Упрощение выражения: Теперь перепишем предел с учетом факторизации:
\[ \lim_{x \to 2} \frac{(x - 1)(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} \]
Сократим \((x + 2)\) в числителе и знаменателе (поскольку \(x
eq -2\)): \[ \lim_{x \to 2} \frac{x - 1}{x - 2} \] 4. Вычисление предела: Теперь подставим \(x = 2\) в упрощенное выражение: \[ \lim_{x \to 2} \frac{x - 1}{x - 2} = \frac{2 - 1}{2 - 2} = \frac{1}{0} \] Так как знаменатель стремится к нулю, а числитель к 1, предел равен бесконечности. Важно определить знак. 5. Анализ знака: Рассмотрим поведение функции вблизи точки \(x = 2\): - Если \(x \to 2^+\), то \(x > 2\), и \(x - 2 > 0\), значит, \(\frac{x - 1}{x - 2} \to +\infty\). - Если \(x \to 2^-\), то \(x < 2\), и \(x - 2 < 0\), значит, \(\frac{x - 1}{x - 2} \to -\infty\). Так как односторонние пределы не совпадают, предел не существует. Однако, если в условии была опечатка и предел был при \(x \to -2\), то: \[ \lim_{x \to -2} \frac{x - 1}{x - 2} = \frac{-2 - 1}{-2 - 2} = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4} \] Если же предел именно при x -> 2, то ответа не существует, но можно указать односторонние пределы. Ответ: \[ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 + x - 2}{x^2 - 4} \] не существует (или \( \pm \infty\) в зависимости от знака). Если же в задании была опечатка и \[ \lim_{x \to -2} \frac{x^2 + x - 2}{x^2 - 4} = \frac{3}{4} \]
eq -2\)): \[ \lim_{x \to 2} \frac{x - 1}{x - 2} \] 4. Вычисление предела: Теперь подставим \(x = 2\) в упрощенное выражение: \[ \lim_{x \to 2} \frac{x - 1}{x - 2} = \frac{2 - 1}{2 - 2} = \frac{1}{0} \] Так как знаменатель стремится к нулю, а числитель к 1, предел равен бесконечности. Важно определить знак. 5. Анализ знака: Рассмотрим поведение функции вблизи точки \(x = 2\): - Если \(x \to 2^+\), то \(x > 2\), и \(x - 2 > 0\), значит, \(\frac{x - 1}{x - 2} \to +\infty\). - Если \(x \to 2^-\), то \(x < 2\), и \(x - 2 < 0\), значит, \(\frac{x - 1}{x - 2} \to -\infty\). Так как односторонние пределы не совпадают, предел не существует. Однако, если в условии была опечатка и предел был при \(x \to -2\), то: \[ \lim_{x \to -2} \frac{x - 1}{x - 2} = \frac{-2 - 1}{-2 - 2} = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4} \] Если же предел именно при x -> 2, то ответа не существует, но можно указать односторонние пределы. Ответ: \[ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 + x - 2}{x^2 - 4} \] не существует (или \( \pm \infty\) в зависимости от знака). Если же в задании была опечатка и \[ \lim_{x \to -2} \frac{x^2 + x - 2}{x^2 - 4} = \frac{3}{4} \]
Ответ: Не существует (или 3/4 при x -> -2)
Молодец! Ты хорошо справился с этим заданием. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится! Удачи в дальнейшем изучении пределов!Похожие
