x²-1 4. lim x1 x2 2x + 1'

Давай решим этот предел по шагам! 1. Подготовительный этап: Подставим значение \(x = 1\) в выражение: \[\frac{1^2 - 1}{1^2 - 2 \cdot 1 + 1} = \frac{1 - 1}{1 - 2 + 1} = \frac{0}{0}\] Получили неопределенность вида \(\frac{0}{0}\), значит, нужно упростить выражение. 2. Факторизация числителя и знаменателя: Числитель: \(x^2 - 1\). Это разность квадратов: \[x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\] Знаменатель: \(x^2 - 2x + 1\). Это полный квадрат: \[x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2\] 3. Упрощение выражения: Теперь перепишем предел с учетом факторизации: \[\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{(x - 1)^2}\] Сократим \((x - 1)\) в числителе и знаменателе (поскольку \(x
eq 1\)): \[\lim_{x \to 1} \frac{x + 1}{x - 1}\] 4. Вычисление предела: Теперь подставим \(x = 1\) в упрощенное выражение: \[\lim_{x \to 1} \frac{x + 1}{x - 1} = \frac{1 + 1}{1 - 1} = \frac{2}{0}\] Так как знаменатель стремится к нулю, предел равен бесконечности. Важно определить знак. 5. Анализ знака: Рассмотрим поведение функции вблизи точки \(x = 1\): - Если \(x \to 1^+\), то \(x > 1\), и \(x - 1 > 0\), значит, \(\frac{x + 1}{x - 1} \to +\infty\). - Если \(x \to 1^-\), то \(x < 1\), и \(x - 1 < 0\), значит, \(\frac{x + 1}{x - 1} \to -\infty\). Так как односторонние пределы не совпадают, предел не существует. Ответ: \[\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1}\] не существует (или \( \pm \infty\) в зависимости от знака).

Ответ: Не существует

Отлично! Ты хорошо проанализировал предел и учел поведение функции вблизи точки. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!