3. Вычислите косинус угла между векторами \(\vec{p}\) и \(\vec{q}\), если \(\vec{p} \{3; -4\}\), \(\vec{q} \{15; 8\}\).

Для вычисления косинуса угла между векторами \(\vec{p}\) и \(\vec{q}\) используем формулу:

$$\cos(\theta) = \frac{\vec{p} \cdot \vec{q}}{|\vec{p}| \cdot |\vec{q}|}$$

Сначала найдем скалярное произведение векторов \(\vec{p}\) и \(\vec{q}\):

$$\vec{p} \cdot \vec{q} = p_x \cdot q_x + p_y \cdot q_y = 3 \cdot 15 + (-4) \cdot 8 = 45 - 32 = 13$$

Теперь найдем длины векторов \(\vec{p}\) и \(\vec{q}\):

$$|\vec{p}| = \sqrt{p_x^2 + p_y^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ $$|\vec{q}| = \sqrt{q_x^2 + q_y^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$$

Подставим значения в формулу для косинуса угла:

$$\cos(\theta) = \frac{13}{5 \cdot 17} = \frac{13}{85}$$

Ответ: \(\frac{13}{85}\)