Вычислите \(\frac{18^8 \cdot 2^{-16}}{36^{-5} \cdot 9^{11}}\)

Решение:

Для вычисления выражения \(\frac{18^8 \cdot 2^{-16}}{36^{-5} \cdot 9^{11}}\), представим все основания в виде простых множителей:

1. \( 18 = 2 \cdot 3^2 \)
2. \( 36 = 2^2 \cdot 3^2 \)
3. \( 9 = 3^2 \)
4. Подставим в числитель: \( (2 \cdot 3^2)^8 \cdot 2^{-16} = 2^8 \cdot (3^2)^8 \cdot 2^{-16} = 2^8 \cdot 3^{16} \cdot 2^{-16} = 2^{8-16} \cdot 3^{16} = 2^{-8} \cdot 3^{16} \).
5. Подставим в знаменатель: \( (2^2 \cdot 3^2)^{-5} \cdot (3^2)^{11} = (2^2)^{-5} \cdot (3^2)^{-5} \cdot 3^{22} = 2^{-10} \cdot 3^{-10} \cdot 3^{22} = 2^{-10} \cdot 3^{-10+22} = 2^{-10} \cdot 3^{12} \).
6. Теперь выражение имеет вид: \(\frac{2^{-8} \cdot 3^{16}}{2^{-10} \cdot 3^{12}}\).
7. Разделим степени с одинаковыми основаниями:
• \( 2^{-8 - (-10)} = 2^{-8+10} = 2^2 \)
• \( 3^{16 - 12} = 3^4 \)
8. Результат: \( 2^2 \cdot 3^4 \).
9. Вычислим: \( 2^2 = 4 \), \( 3^4 = 81 \).
10. \( 4 \cdot 81 = 324 \).

Ответ: 324