Упростите выражение \(\frac{25^{-3} \cdot 5^4}{(-5)^6 \cdot (-125)^{-4}}\)

Решение:

Для упрощения выражения \(\frac{25^{-3} \cdot 5^4}{(-5)^6 \cdot (-125)^{-4}}\), представим все основания в виде степеней числа 5:

1. \( 25 = 5^2 \)
2. \( -125 = -(5^3) \)
3. \( -5 = -(5^1) \)
4. Подставим в числитель: \( (5^2)^{-3} \cdot 5^4 = 5^{2 \times (-3)} \cdot 5^4 = 5^{-6} \cdot 5^4 = 5^{-6+4} = 5^{-2} \).
5. Подставим в знаменатель: \( (-5)^6 \cdot (-125)^{-4} \).
6. \( (-5)^6 = 5^6 \) (так как показатель степени четный, отрицательное основание становится положительным).
7. \( (-125)^{-4} = (-(5^3))^{-4} = (5^3)^{-4} = 5^{3 \times (-4)} = 5^{-12} \) (минус перед основанием теряется из-за четного показателя степени).
8. Знаменатель: \( 5^6 \cdot 5^{-12} = 5^{6+(-12)} = 5^{-6} \).
9. Теперь выражение имеет вид: \(\frac{5^{-2}}{5^{-6}}\).
10. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: \( 5^{-2 - (-6)} = 5^{-2+6} = 5^4 \).
11. Вычислим результат: \( 5^4 = 625 \).

Ответ: 625