5. Вычислите 4ˡ⁰ᵍ₁₂ ². 3log₁₂ 2 + log₂ 125. log₅ 2.

Для решения данного выражения воспользуемся различными свойствами логарифмов.

1. Упростим первое слагаемое:$$4^{log_{12} 2} \cdot 3^{log_{12} 2}$$Преобразуем основания к виду $$12^{log_{12} x}$$:$$4^{log_{12} 2} = (12^{\frac{log_{12} 4 \cdot log_{12} 2}{log_{12} 4}})^{log_{12} 2} = 12^{log_{12} 2 \cdot log_{12} 4}$$$$3^{log_{12} 2} = (12^{\frac{log_{12} 3 \cdot log_{12} 2}{log_{12} 3}})^{log_{12} 2} = 12^{log_{12} 2 \cdot log_{12} 3}$$.Тогда первое слагаемое равно:$$12^{log_{12} 2 \cdot log_{12} 4} \cdot 12^{log_{12} 2 \cdot log_{12} 3} = 12^{log_{12} 2 (log_{12} 4 + log_{12} 3)}$$Так как $$log_{12} 4 + log_{12} 3 = log_{12} (4 \cdot 3) = log_{12} 12 = 1$$, то первое слагаемое равно:$$12^{log_{12} 2} = 2$$
2. Упростим второе слагаемое:$$log_2 125 \cdot log_5 2$$Воспользуемся формулой перехода к другому основанию: $$log_a b = \frac{log_c b}{log_c a}$$. Перейдем к основанию 2:$$log_5 2 = \frac{log_2 2}{log_2 5} = \frac{1}{log_2 5}$$Тогда второе слагаемое равно:$$log_2 125 \cdot \frac{1}{log_2 5} = \frac{log_2 5^3}{log_2 5} = \frac{3 log_2 5}{log_2 5} = 3$$
3. Вычислим сумму:$$2 + 3 = 5$$

Ответ: 5