Вариант 5. 1. Найти производную функции y = 2x^3 + 4sinx + 3 2. Скорость движения точки v (t) = (4t - t^2 м/с. Найти путь, пройденный точкой за четыре секунды от начала движения. 3. Из 20 билетов к экзамену студент выучил лишь 16. Найти вероятность того, что студенту достанется невыученный билет. 4. Вычислить а) 8! / 7! б) C7^2 - A8^4

Вариант 5

1. 1. Найти производную функции: \( y = 2x^3 + 4\sin x + 3 \)
   \( y' = (2x^3)' + (4\sin x)' + (3)' \)
   \( y' = 6x^2 + 4\cos x \)
2. 2. Скорость движения точки: \( v(t) = 4t - t^2 \) м/с. Найти путь за 4 секунды.
   Сначала найдём, когда точка останавливается:
   \( 4t - t^2 = 0 \)
   \( t(4 - t) = 0 \)
   \( t = 0 \) или \( t = 4 \) секунды.
   В интервале от 0 до 4 скорость положительная (например, при \( t=1 \), \( v(1) = 4-1=3 \)).
   Путь \( S \) — это интеграл от скорости по времени от \( t=0 \) до \( t=4 \):
   \( S = \int_{0}^{4} (4t - t^2) dt = \left[ \frac{4t^2}{2} - \frac{t^3}{3} \right]_{0}^{4} = \left[ 2t^2 - \frac{t^3}{3} \right]_{0}^{4} \)
   \( S = \left( 2 \cdot 4^2 - \frac{4^3}{3} \right) - 0 = \left( 2 \cdot 16 - \frac{64}{3} \right) = 32 - \frac{64}{3} = \frac{96 - 64}{3} = \frac{32}{3} \) метра.
3. 3. Вероятность невыученного билета:
   Всего билетов: 20.
   Выучил: 16.
   Не выучил: \( 20 - 16 = 4 \).
   Вероятность невыученного билета: \( P = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} = 0.2 \).
4. 4. Вычислить:
   а) \( \frac{8!}{7!} = \frac{8 \cdot 7!}{7!} = 8 \)
   б) \( C_7^2 - A_8^4 \)
   \( C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{5040}{2 \cdot 120} = \frac{5040}{240} = 21 \)
   \( A_8^4 = \frac{8!}{(8-4)!} = \frac{8!}{4!} = \frac{40320}{24} = 1680 \)
   \( 21 - 1680 = -1659 \)
5. 5. Сколькими способами можно вложить в свободные места 4 фотографии?
   На странице 6 свободных мест, нужно выбрать 4 места и разместить на них 4 фотографии. Это задача на размещения (размещаем 4 из 6 мест).
   \( A_6^4 = \frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360 \) способов.

Ответ: 1. \( y' = 6x^2 + 4\cos x \). 2. \( \frac{32}{3} \) метра. 3. \( \frac{1}{5} \) или 0.2. 4. а) 8; б) -1659. 5. 360 способов.