Вариант 4. 1. Найти производную функции y = 3x^6 + 4ex + 2x 2. Скорость движения точки v (t) = (t^2 - 2t) м/с. Найти путь, пройденный точкой за четыре секунды от начала движения. 3. Из 24 билетов к экзамену студент выучил лишь 18. Найти вероятность того, что студенту достанется невыученный билет. 4. Вычислить а) 5! / 7! б) C9^4 - A8^3

Вариант 4

1. 1. Найти производную функции: \( y = 3x^6 + 4e^x + 2x \)
   \( y' = (3x^6)' + (4e^x)' + (2x)' \)
   \( y' = 18x^5 + 4e^x + 2 \)
2. 2. Скорость движения точки: \( v(t) = t^2 - 2t \) м/с. Найти путь за 4 секунды.
   Сначала найдём, когда точка останавливается:
   \( t^2 - 2t = 0 \)
   \( t(t - 2) = 0 \)
   \( t = 0 \) или \( t = 2 \) секунды.
   В интервале от 0 до 2 скорость отрицательная (например, при \( t=1 \), \( v(1) = 1-2=-1 \)), значит, движение происходит в обратном направлении. В интервале от 2 до 4 скорость положительная (например, при \( t=3 \), \( v(3) = 9-6=3 \)).
   Путь = \( |\int_{0}^{4} v(t) dt| \) не совсем корректно, нужно найти интегралы на каждом участке и сложить модули.
   Путь \( S = \int_{0}^{4} |v(t)| dt \).
   \( \int_{0}^{4} (t^2 - 2t) dt = \left[ \frac{t^3}{3} - t^2 \right]_{0}^{4} = \left( \frac{4^3}{3} - 4^2 \right) - 0 = \frac{64}{3} - 16 = \frac{64 - 48}{3} = \frac{16}{3} \).
   \( \int_{0}^{2} (t^2 - 2t) dt = \left[ \frac{t^3}{3} - t^2 \right]_{0}^{2} = \left( \frac{2^3}{3} - 2^2 \right) - 0 = \frac{8}{3} - 4 = \frac{8 - 12}{3} = -\frac{4}{3} \).
   \( \int_{2}^{4} (t^2 - 2t) dt = \left[ \frac{t^3}{3} - t^2 \right]_{2}^{4} = \left( \frac{4^3}{3} - 4^2 \right) - \left( \frac{2^3}{3} - 2^2 \right) = \frac{16}{3} - \left( -\frac{4}{3} \right) = \frac{16}{3} + \frac{4}{3} = \frac{20}{3} \).
   Общий путь = \( |-\frac{4}{3}| + |\frac{20}{3}| = \frac{4}{3} + \frac{20}{3} = \frac{24}{3} = 8 \) метров.
3. 3. Вероятность невыученного билета:
   Всего билетов: 24.
   Выучил: 18.
   Не выучил: \( 24 - 18 = 6 \).
   Вероятность невыученного билета: \( P = \frac{6}{24} = \frac{1}{4} = 0.25 \).
4. 4. Вычислить:
   а) \( \frac{5!}{7!} = \frac{5!}{7 \cdot 6 \cdot 5!} = \frac{1}{42} \)
   б) \( C_9^4 - A_8^3 \)
   \( C_9^4 = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4!5!} = \frac{362880}{24 \cdot 120} = \frac{362880}{2880} = 126 \)
   \( A_8^3 = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = \frac{40320}{120} = 336 \)
   \( 126 - 336 = -210 \)
5. 5. Сколькими способами можно разложить 6 цветных карандашей в коробке в один ряд?
   Это задача на перестановки.
   \( P_6 = 6! = 720 \) способов.

Ответ: 1. \( y' = 18x^5 + 4e^x + 2 \). 2. 8 метров. 3. \( \frac{1}{4} \) или 0.25. 4. а) \( \frac{1}{42} \); б) -210. 5. 720 способов.