Вариант 3. 1. Найти производную функции y = 4x^3 + 2e^x + 3 2. Скорость движения точки v (t) = (9t - 1,5t^2 м/с. Найти путь, пройденный точкой от начала движения до её остановки. 3. Для экзамена по ОСД приготовлены 26 билетов. Студент не выучил 6 из них. Найти вероятность того, что студенту достанется выученный билет. 4. Вычислить а) 8! / 9! б) A6^2 - C7^4 5. Из 7 работников нужно отправить в одну командировку 3 человек. Сколькими способами это можно сделать?

Вариант 3

1. 1. Найти производную функции: \( y = 4x^3 + 2e^x + 3 \)
   \( y' = (4x^3)' + (2e^x)' + (3)' \)
   \( y' = 12x^2 + 2e^x \)
2. 2. Скорость движения точки: \( v(t) = 9t - 1,5t^2 \) м/с. Найти путь до остановки.
   Остановка произойдет, когда \( v(t) = 0 \):
   \( 9t - 1,5t^2 = 0 \)
   \( t(9 - 1,5t) = 0 \)
   \( t = 0 \) или \( 9 - 1,5t = 0 \) \( \Rightarrow 1,5t = 9 \) \( \Rightarrow t = \frac{9}{1,5} = 6 \) секунд.
   Путь \( S \) — это интеграл от скорости по времени от \( t=0 \) до \( t=6 \):
   \( S = \int_{0}^{6} (9t - 1,5t^2) dt = \left[ \frac{9t^2}{2} - \frac{1,5t^3}{3} \right]_{0}^{6} = \left[ 4,5t^2 - 0,5t^3 \right]_{0}^{6} \)
   \( S = (4,5 \cdot 6^2 - 0,5 \cdot 6^3) - 0 = (4,5 \cdot 36 - 0,5 \cdot 216) = 162 - 108 = 54 \) метра.
3. 3. Вероятность выученного билета:
   Всего билетов: 26.
   Не выучил: 6.
   Выучил: \( 26 - 6 = 20 \).
   Вероятность выученного билета: \( P = \frac{20}{26} = \frac{10}{13} \).
4. 4. Вычислить:
   а) \( \frac{8!}{9!} = \frac{8!}{9 \cdot 8!} = \frac{1}{9} \)
   б) \( A_6^2 - C_7^4 \)
   \( A_6^2 = \frac{6!}{(6-2)!} = \frac{720}{24} = 30 \)
   \( C_7^4 = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{5040}{24 \cdot 6} = \frac{5040}{144} = 35 \)
   \( 30 - 35 = -5 \)
5. 5. Сколькими способами можно выбрать 3 работников из 7?
   Это задача на сочетания:
   \( C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{5040}{6 \cdot 24} = \frac{5040}{144} = 35 \) способов.

Ответ: 1. \( y' = 12x^2 + 2e^x \). 2. 54 метра. 3. \( \frac{10}{13} \). 4. а) \( \frac{1}{9} \); б) -5. 5. 35 способов.