Вариант 2, задание 6: Зависимость объёма спроса $$q = 170 - 10p$$. Выручка предприятия за месяц $$r(p) = q \cdot p$$. Определите наибольшую цену $$p$$, при которой выручка за месяц $$r(p)$$ составит 520 тыс. руб. Приведите в тысячах рублей.

Решение:

1. Запишем формулу выручки, подставив выражение для \( q \): \( r(p) = (170 - 10p) \cdot p = 170p - 10p^2 \).
2. Приравняем выручку к заданному значению: \( 170p - 10p^2 = 520 \).
3. Перенесём все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \( 10p^2 - 170p + 520 = 0 \).
4. Разделим все члены уравнения на 10 для упрощения: \( p^2 - 17p + 52 = 0 \).
5. Найдём дискриминант квадратного уравнения \( D = b^2 - 4ac \): \( D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 52 = 289 - 208 = 81 \).
6. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два действительных корня. Найдём их по формуле \( p = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \): \( p_1 = \frac{17 + \sqrt{81}}{2} = \frac{17 + 9}{2} = \frac{26}{2} = 13 \) \( p_2 = \frac{17 - \sqrt{81}}{2} = \frac{17 - 9}{2} = \frac{8}{2} = 4 \).
7. Наибольшая цена \( p \), при которой выручка составит 520 тыс. руб., равна 13 тыс. руб.

Ответ: 13.