Вариант 1, задание 3: Решите уравнение $$2^{3x+4} = 0,4 \cdot 5^{3x+4}$$.

Решение:

1. Перенесём все члены уравнения в одну сторону: \( 2^{3x+4} - 0,4 \cdot 5^{3x+4} = 0 \).
2. Разделим обе части уравнения на \( 5^{3x+4} \) (так как \( 5^{3x+4} \) никогда не равно нулю): \( \frac{2^{3x+4}}{5^{3x+4}} - 0,4 = 0 \).
3. Используем свойство степеней \( \frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n \): \( (\frac{2}{5})^{3x+4} - 0,4 = 0 \).
4. Выразим \( 0,4 \) в виде дроби: \( 0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \).
5. Уравнение примет вид: \( (\frac{2}{5})^{3x+4} - \frac{2}{5} = 0 \).
6. Перенесём \( \frac{2}{5} \) в правую часть: \( (\frac{2}{5})^{3x+4} = \frac{2}{5} \).
7. Поскольку основания степеней равны, приравняем показатели: \( 3x+4 = 1 \).
8. Решим полученное линейное уравнение: \( 3x = 1 - 4 \) \( 3x = -3 \) \( x = -1 \).

Ответ: -1.