Вариант 3 • 1. Упростите выражение: a) 6√3+√27-3√75; 6) (√50-2√2)√2; в) (2-√3)². •2. Сравните: 1/√12 и 3/√45. 3. Сократите дробь: a) √3-3 ; 6) a-2√a √5-√15 3√a-6 4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе: 3/√10 ; 6) √6+√2 5. Докажите, что значение выражения 1 2√7-1 - 2√7+1 есть число рациональное.

Выполним задания.

1. Упростите выражение:

1. $$6\sqrt{3} + \sqrt{27} - 3\sqrt{75} = 6\sqrt{3} + \sqrt{9 \cdot 3} - 3\sqrt{25 \cdot 3} = 6\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 3 \cdot 5\sqrt{3} = 9\sqrt{3} - 15\sqrt{3} = -6\sqrt{3}$$

   Ответ: $$-6\sqrt{3}$$

2. $$(\sqrt{50}-2\sqrt{2})\sqrt{2} = (\sqrt{25 \cdot 2} - 2\sqrt{2})\sqrt{2} = (5\sqrt{2} - 2\sqrt{2})\sqrt{2} = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 3 \cdot 2 = 6$$

   Ответ: 6

3. $$(2-\sqrt{3})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7-4\sqrt{3}$$

   Ответ: $$7-4\sqrt{3}$$

2. Сравните:

$$ \frac{1}{\sqrt{12}} \text{ и } \frac{3}{\sqrt{45}}$$ $$ \frac{1}{\sqrt{4 \cdot 3}} \text{ и } \frac{3}{\sqrt{9 \cdot 5}}$$ $$\frac{1}{2\sqrt{3}} \text{ и } \frac{3}{3\sqrt{5}}$$ $$\frac{1}{2\sqrt{3}} \text{ и } \frac{1}{\sqrt{5}}$$ Сравним $$2\sqrt{3} \text{ и } \sqrt{5}$$ Возведем в квадрат $$(2\sqrt{3})^2 \text{ и } (\sqrt{5})^2$$ $$4 \cdot 3 \text{ и } 5$$ $$12 > 5$$ значит $$\frac{1}{2\sqrt{3}} < \frac{1}{\sqrt{5}}$$, то есть $$\frac{1}{\sqrt{12}} < \frac{3}{\sqrt{45}}$$.

Ответ:$$\frac{1}{\sqrt{12}} < \frac{3}{\sqrt{45}}$$.

3. Сократите дробь:

1. $$\frac{\sqrt{3}-3}{\sqrt{5}-\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{3}(1-\sqrt{3})}{\sqrt{5}(1-\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{15}}{5}$$

   Ответ:$$\frac{\sqrt{15}}{5}$$

2. $$\frac{a-2\sqrt{a}}{3\sqrt{a}-6} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-2)}{3(\sqrt{a}-2)} = \frac{\sqrt{a}}{3}$$

   Ответ: $$\frac{\sqrt{a}}{3}$$

4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе:

1. $$\frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3 \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$$

   Ответ:$$\frac{3\sqrt{10}}{10}$$

2. $$\frac{8}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{8(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})} = \frac{8(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6})^2-(\sqrt{2})^2} = \frac{8(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{6-2} = \frac{8(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4} = 2(\sqrt{6}-\sqrt{2})$$

   Ответ: $$2(\sqrt{6}-\sqrt{2})$$

5. Докажите, что значение выражения

$$\frac{1}{2\sqrt{7}-1} - \frac{1}{2\sqrt{7}+1}$$ есть число рациональное. $$\frac{1}{2\sqrt{7}-1} - \frac{1}{2\sqrt{7}+1} = \frac{1(2\sqrt{7}+1) - 1(2\sqrt{7}-1)}{(2\sqrt{7}-1)(2\sqrt{7}+1)} = \frac{2\sqrt{7}+1 - 2\sqrt{7}+1}{(2\sqrt{7})^2 - 1^2} = \frac{2}{4 \cdot 7 - 1} = \frac{2}{28 - 1} = \frac{2}{27}$$

Число $$\frac{2}{27}$$ является рациональным.

Ответ: Выражение является рациональным числом.