В42. Точка касания вписанной в прямоугольный треугольник окружности делит катет на отрезки 3 и 2, считая от вершины острого угла. Найти диаметр описанной окружности.

Пусть катет разделён на отрезки \(3\) и \(2\), значит его длина равна:

\(a=3+2=5\).

Для прямоугольного треугольника равные отрезки, отсекаемые точкой касания на катете, равны \(s-b\) и \(s-c\). Поэтому разность катетов и гипотенузы определяется из условий касания. Получается второй катет \(b=12\), а гипотенуза:

\(c=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=13\).

Диаметр описанной окружности прямоугольного треугольника равен гипотенузе:

\(D=c=13\).

Ответ: 13.