В41. Высота прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки длиной 6−√11 и 6+√11. Найти площадь треугольника.

Пусть \(p=6-\sqrt{11}\), \(q=6+\sqrt{11}\).

Высота к гипотенузе определяется формулой \(h^2=pq\):

\(h^2=(6-\sqrt{11})(6+\sqrt{11})=36-11=25\),

\(h=5\).

Гипотенуза равна:

\(c=p+q=(6-\sqrt{11})+(6+\sqrt{11})=12\).

Тогда площадь:

\(S=\dfrac12ch=\dfrac12\cdot12\cdot5=30\).

Ответ: 30.