В40. Высота прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки длиной 7−√13 и 7+√13. Найти площадь треугольника.

Пусть высота делит гипотенузу на отрезки \(p=7-\sqrt{13}\) и \(q=7+\sqrt{13}\).

Высота к гипотенузе:

\(h^2=pq=(7-\sqrt{13})(7+\sqrt{13})=49-13=36\),

\(h=6\).

Гипотенуза:

\(c=p+q=(7-\sqrt{13})+(7+\sqrt{13})=14\).

Площадь треугольника через гипотенузу и высоту:

\(S=\dfrac12ch=\dfrac12\cdot14\cdot6=42\).

Ответ: 42.