В треугольнике АВС угол С равен 90°, tg B = 1/4, AB=8. Найдите ВС.

Решение:

Дан прямоугольный треугольник ABC, где \( \angle C = 90^{\circ} \).

Дано: \( \text{tg } B = \frac{1}{4} \), \( AB = 8 \).

Найти: \( BC \).

Решение:

Тангенс угла \( B \) определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету:

\( \text{tg } B = \frac{AC}{BC} \)

\( \frac{1}{4} = \frac{AC}{BC} \)

Из этого следует, что \( AC = \frac{1}{4} BC \).

По теореме Пифагора:

\( AB^2 = AC^2 + BC^2 \)

\( 8^2 = (\frac{1}{4} BC)^2 + BC^2 \)

\( 64 = \frac{1}{16} BC^2 + BC^2 \)

\( 64 = BC^2 (\frac{1}{16} + 1) \)

\( 64 = BC^2 (\frac{17}{16}) \)

\( BC^2 = 64 \cdot \frac{16}{17} \)

\( BC = \sqrt{64 \cdot \frac{16}{17}} \)

\( BC = 8 \cdot 4 \cdot \sqrt{\frac{1}{17}} \)

\( BC = \frac{32}{\sqrt{17}} = \frac{32\sqrt{17}}{17} \)

Ответ: 32√17 / 17