7. В треугольнике АВС угол C равен 90°, СН — высота, АВ = 100, sin ∠A = 4 5. Найдите длину отрезка АН.

Шаг 1: Рассмотрим треугольник AHC. Угол A в нем равен углу A в треугольнике ABC, так как это один и тот же угол.

Шаг 2: Найдем AC, используя определение синуса угла A в треугольнике ABC:

\[sin A = \frac{BC}{AB}\]

Нам дан \(sin A = \frac{4}{5}\), поэтому:

\[\frac{4}{5} = \frac{BC}{100}\] \[BC = \frac{4}{5} \cdot 100 = 80\]

Далее, найдем AC, используя теорему Пифагора в треугольнике ABC:

\[AC^2 + BC^2 = AB^2\] \[AC^2 = AB^2 - BC^2\] \[AC^2 = 100^2 - 80^2\] \[AC^2 = 10000 - 6400\] \[AC^2 = 3600\] \[AC = \sqrt{3600} = 60\]

Шаг 3: Рассмотрим треугольник AHC. В нем:

\[cos A = \frac{AH}{AC}\]

Нам нужно найти AH. Для этого нужно найти cos A. Мы знаем sin A, поэтому:

\[cos A = \sqrt{1 - sin^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}\]

Теперь найдем AH:

\[AH = AC \cdot cos A = 60 \cdot \frac{3}{5} = 36\]

Так как \(sin A = \frac{4}{5}\), то \(cos A = \sqrt{1 - sin^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}\).

\[AC = 60\]

Тогда из определения косинуса в треугольнике \(\triangle AHC\), имеем \(cos A = \frac{AH}{AC}\), следовательно:

\[AH = AC \cdot cos A = 60 \cdot \frac{3}{5} = 36\]

Теперь найдем AH, используя \(\triangle AHC\):

Используем подобие треугольников, так как треугольники \(\triangle ABC \sim \triangle HCA \sim \triangle HBC\), то получим:

\[\frac{AH}{AC} = \frac{AC}{AB}\]

Выразим AH:

\[AH = \frac{AC^2}{AB} = \frac{60^2}{100} = \frac{3600}{100} = 36\]

Используем подобие треугольников, так как треугольники \(\triangle ABC \sim \triangle HCA \sim \triangle HBC\), то получим:

\[AH = \frac{AC^2}{AB} = \frac{60^2}{100} = \frac{3600}{100} = 36\]