В треугольнике АВС угол C равен 90°. СH – высота, угол А равен 30°, АВ = 80. Найдите ВН.

Ответ: 20

В прямоугольном треугольнике АВС с углом \( \angle A = 30^{\circ} \) гипотенуза AB = 80.

Сначала найдем катет AC:

\[ AC = AB \cdot \cos 30^{\circ} = 80 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 40\sqrt{3} \]

Затем найдем катет BC:

\[ BC = AB \cdot \sin 30^{\circ} = 80 \cdot \frac{1}{2} = 40 \]

Теперь найдем высоту CH, используя формулу площади треугольника:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH \]

Отсюда:

\[ CH = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{40\sqrt{3} \cdot 40}{80} = 20\sqrt{3} \]

Рассмотрим прямоугольный треугольник BCH. В нем:

\[ BC^2 = BH^2 + CH^2 \]

Подставим известные значения:

\[ 40^2 = BH^2 + (20\sqrt{3})^2 \] \[ 1600 = BH^2 + 400 \cdot 3 \] \[ 1600 = BH^2 + 1200 \] \[ BH^2 = 1600 - 1200 = 400 \]

Следовательно:

\[ BH = \sqrt{400} = 20 \]

Ответ: 20