2. В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны, К- середина АС, ВС = 13 см. На сторонах АВ и ВС соответ- ственно отмечены точки Е и Р так, что углы АКЕ и СКР равны, ВЕ = 5 см. Найдите длину РС.

В треугольнике АВС:

1. АВ = ВС (по условию)
2. АК = КС (так как К - середина АС).
3. Угол АКЕ = углу СКР (по условию)

Треугольник АВС - равнобедренный, АК - медиана, следовательно, АК - биссектриса и высота.

Угол ВАК = углу ВСК, угол АКВ = углу СКВ.

Найдем углы АКЕ и СКР: угол АКЕ = 90° - угол ВАК, угол СКР = 90° - угол ВСК.

Рассмотрим треугольники АЕК и СРК: АК = СК, угол ЕАК = углу РСК (угол ВАК = углу ВСК).

Треугольники АЕК и СРК равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников), следовательно, АЕ = СР.

Так как АВ = ВС = 13 см и ВЕ = 5 см, то АЕ = АВ - ВЕ = 13 см - 5 см = 8 см.

Следовательно, РС = 8 см.

Ответ: РС = 8 см.