25. В треугольнике АВС на его медиане ВМ отмечена точка К так, что ВК: KM = 4:1. Прямая АК пересекает сторону ВС в точке Р. Найдите отношение площади треугольника ВКР к площади треугольника АВК.

Пусть S(BKP) - площадь треугольника BKP, S(ABK) - площадь треугольника ABK. Нужно найти отношение S(BKP)/S(ABK).

По теореме Менелая для треугольника BCM и прямой AK:

$$\frac{BA}{AM} \cdot \frac{MK}{KC} \cdot \frac{CP}{PB} = 1$$

Так как BM - медиана, то AM = MC. Обозначим BK = 4x, KM = x. Тогда BM = 5x.

$$\frac{BA}{AM} = 2$$

$$\frac{MK}{KB} = \frac{x}{4x} = \frac{1}{4}$$

Тогда$$\frac{AC}{CM} \cdot \frac{CP}{PB} = 1$$,то $$ 2 \cdot \frac{CP}{PB} = 1$$

$$\frac{CP}{PB} = \frac{1}{2}$$,$$\frac{BP}{BC} = \frac{2}{3}$$

$$\frac{S(BKP)}{S(BKC)} = \frac{BP}{BC} = \frac{2}{3}$$, S(BKC) = \frac{1}{2}BC * h

$$S(BKC) = \frac{1}{5}S(ABC)$$, S(ABK) = \frac{4}{5}

S (ABK) = (S (ABM)

Ответ: 1/2