23. Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 30° и 135°, а CD = 29.

Опустим высоту BH на CD. Рассмотрим треугольник BHC. Угол BCD равен 135°, значит, угол BCH равен $$180° - 135° = 45°$$. Треугольник BHC прямоугольный, значит, угол CBH равен $$90° - 45° = 45°$$. Следовательно, треугольник BHC равнобедренный и $$BH = HC$$.

Проведем высоту AK на CD. Рассмотрим четырехугольник ABHK. У него углы AKH и BHK прямые, а угол ABH равен 30°. Значит, ABHK - прямоугольник и $$AB = KH$$.

Угол ABC равен 30°. $$BH = HC$$. Тогда $$BC = 2 \cdot HC$$ (катет против угла 30 градусов).

Тогда, $$KH = CD - CK - HD$$. Значит $$AB = CD - CK - HD$$. Так как CH = BH и CD = 29.

Проведем прямую BL параллельную CD до пересечения с AK в точке L.

Тогда AL = AK = BH = CH. Тогда AB = CD - 2BH

По теореме синусов: $$BH/sin45 = BC/sin90$$

BC=2BH

$$BH = (2BH)* (\sqrt{2}/2)$$. Тогда $$BH = BH * \sqrt{2}$$

Тогда AB = 29 - (2BH)

BH = CD * (\sqrt{2}/2)

Пусть CD = 29

Тогда CH = CD * sin (45)= (CD*\sqrt{2})/2

CD/ (sin (ABC) = AB/sin (ACB)

Из этого условия : CH = AB=x.

cos (BCH) = CH/BC

cos (135) = (CH/29)=-\sqrt{2}/2

CH = (-29*\sqrt{2})/2

Нужно опустить высоту из точки B на основание CD (точка H) и из точки A на основание CD (точка K). Прямоугольные треугольники CBH и ADK равны (углы 45 градусов, 135 градусов).

Значит CK=HD

Из этого HD = 29* (\sqrt{2}/2) = AB

Ответ: $$29\frac{\sqrt{2}}{2}$$