22. Постройте график функции $$y=|x|(x-1)-5x$$. Определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Рассмотрим функцию $$y=|x|(x-1)-5x$$.

При $$x \geq 0$$: $$y = x(x - 1) - 5x = x^2 - x - 5x = x^2 - 6x$$.

При $$x < 0$$: $$y = -x(x - 1) - 5x = -x^2 + x - 5x = -x^2 - 4x$$.

Таким образом, функция имеет вид:

$$y = \begin{cases} x^2 - 6x, & x \geq 0 \\ -x^2 - 4x, & x < 0 \end{cases}$$

Найдем вершину параболы $$y = x^2 - 6x$$:

$$x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-6)}{2 \cdot 1} = 3$$

$$y_v = 3^2 - 6 \cdot 3 = 9 - 18 = -9$$

Вершина параболы $$y = x^2 - 6x$$ имеет координаты $$(3; -9)$$.

Найдем вершину параболы $$y = -x^2 - 4x$$:

$$x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-4)}{2 \cdot (-1)} = \frac{4}{-2} = -2$$

$$y_v = -(-2)^2 - 4 \cdot (-2) = -4 + 8 = 4$$

Вершина параболы $$y = -x^2 - 4x$$ имеет координаты $$(-2; 4)$$.

Найдем нули функции $$y = x^2 - 6x$$:

$$x^2 - 6x = 0$$

$$x(x - 6) = 0$$

$$x_1 = 0, x_2 = 6$$

Найдем нули функции $$y = -x^2 - 4x$$:

$$-x^2 - 4x = 0$$

$$-x(x + 4) = 0$$

$$x_1 = 0, x_2 = -4$$

Построим график функции $$y = |x|(x-1)-5x$$.

      4 |
        |   *(-2;4) - вершина
        |  / \
        | /   \
      0 +-------+-------> x
       -4  |      6
        | /       \
        |/         \
     -9 *----------(3;-9) - вершина
        |

Прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно две общие точки при $$m = -9$$ и при $$m = 4$$.

Ответ: -9; 4